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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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5. Utilizando las reglas de derivación y la tabla de derivadas elementales calcule la recta tangente para las siguientes funciones en el punto indicado:
a) f(x)=x3x+1f(x)=x \sqrt{3 x+1} en el punto (1,f(1))(1, f(1)).

Respuesta

Aclaración: Antes de encarar este ejercicio es clave que hayas visto la clase de Recta Tangente :)

La función que nos dan es f(x)=x3x+1 f(x) = x\sqrt{3x + 1} y necesitamos encontrar la recta tangente en x0=1 x_0 = 1 . Sabemos que la ecuación de la recta tangente a f f en x=x0 x = x_0 es de la forma: y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) Perfecto, en este caso nuestro x0 x_0 es x0=1 x_0 = 1 , así que la recta tangente que estamos buscando es: y=f′(1)(x−1)+f(1) y = f'(1)(x - 1) + f(1) Para encontrar f′(1) f'(1) , primero calculamos la derivada de f(x) f(x) . Arrancamos con regla del producto:

f′(x)=1⋅3x+1+x⋅123x+1⋅3 f'(x) = 1 \cdot \sqrt{3x + 1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot 3
f′(x)=3x+1+3x23x+1 f'(x) = \sqrt{3x + 1} + \frac{3x}{2\sqrt{3x + 1}} Ahora evaluamos f′(x) f'(x) en x0=1 x_0 = 1 : f′(1)=3+1+323+1= 114 f'(1) = \sqrt{3 + 1} + \frac{3}{2\sqrt{3 + 1}} = \frac{11}{4}
Nos falta evaluar f(x) f(x) en x0=1 x_0 = 1 para obtener f(1) f(1) : f(1)=1⋅3+1=2 f(1) = 1 \cdot \sqrt{3 + 1} = 2 ¡Listo! Sustituimos f′(1) f'(1) y f(1) f(1) en la ecuación de la recta tangente: y=114(x−1)+2 y = \frac{11}{4}(x - 1) + 2 Esta es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) f(x) en x0=1 x_0 = 1
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